2.1.4. El cubo de un binomio

Interpretación geométrica del producto notable. Supongamos que un ingeniero necesita un tanque cúbico de dimensiones  x + y  por arista y que desea calcular su volumen.

Dibujemos el tanque:

Cubo

Su volumen podrá calcularse mediante la fórmula para obtener el volumen de un cubo V = l 3 como en nuestro caso l =x+y  y la fórmula resulta:

V = (x + y)3

Identificación del producto notable

  1. Aplicando la definición de potencia y la multiplicación de polinomios:

    (x + y)3 = (x + y) (x + y) (x + y) = (x2 + xy + yx + y2)(x + y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

  2. Aplicando leyes de los exponentes para descomponer la potencia y emplear  el producto notable del cuadrado de un binomio, así como la multiplicación de polinomios:

    (x + y)3 = (x + y) (x + y)2 = (x + y)(x2 + 2xy + y2) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Observa que el resultado final es siempre el mismo, independientemente de la forma de desarrollar el binomio. Esto significa que se cumple la propiedad de campo de los números reales denominada conmutativa: "El orden de los factores no altera el producto".

Así es como resulta el producto notable del cubo de un binomio:

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Es importante aclarar que no todos los binomios se presentan con literales, sino que puede encontrarse cualquier expresión algebraica.

Por ejemplo, podría representarse un modelo algebraico con figuras geométricas.

Figura geometrica

O bien mediante signos de agrupación en la forma:

([] + {})3 = []3 + 3[]2{} + 3 []{}2 + {}3

El producto notable se identifica de la siguiente forma:

El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado de este mismo por el segundo término, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

Cuando el binomio que se desea calcular es el conjugado del anterior, el modelo para el producto notable se escribe en la forma:

(x - y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3

Como podrás observar al desarrollar el cubo de una diferencia de dos términos, el primero del desarrollo es positivo, el segundo negativo y, así, sucesivamente; los términos son positivos y negativos alternadamente hasta completar su desarrollo.

El desarrollo de este producto notable en diversos ejercicios nos mostrará como se aplica el conocimiento anteriormente adquirido en operaciones combinadas con expresiones algebraicas.

Ejemplo

Desarrollemos el siguiente binomio:

(3ax + 1 by2)3 = [3ax]3 + 3[3ax]2 { 1 by2} + 3 [3ax] { 1 by2}2 + { 1 by2}3
4 4 4 4
= 27a3x3 + 27 a2bx2y2 + 9 ab2xy4 + 1 b3y6
4 16 64

Calculemos ahora la potencia anterior por medio de multiplicación de polinomios y comparemos el número de operaciones y dificultad con que se realizan en esta forma y mediante el uso del producto notable.

(3ax + 1 by2)3 = (3ax + 1 by2) (3ax + 1 by2) (3ax + 1 by2)
4 4 4 4
= (9a2x2 + 3 abxy2 + 3 abxy2 + 1 b2y4) (3ax + 1 by2)
4 4 16 4
= 27a3x3 + 9 a2bx2y2 + 9 a2bx2y+ 3 ab2xy4 + 9 a2bx2y2 + 3 ab2xy4 + 3 ab2xy4 + 1 b3y6 +
4 4 16 4 16 16 64
27 a3x3 + 27 a2bx2y+ 9 ab2xy4 + 1 b3y6
4 16 64

Ejemplo

( 5x2y3 - 4a3b4 ) = [
5x2y3 ] - 3[ 5x2y3 ]2 { 4a3b4 } + 3[ 5x2y3 ] { 4a3b4 }2 - { 4a3b4 }3
8 10 8 8 10 8 10 10
125 x6y9 - 300 a3b4x4y6 + 240 a6b8x2y3 - 64 a9b12
512 640 800 1000
125 x6y9 - 15 a3b4x4y6 + 3
a6b8x2y3- 8 a9b12
512 32 10 125

Si te diste cuenta, este binomio contiene términos racionales; no obstante, su desarrollo se realiza en forma exactamente igual al ejemplo anterior.

A partir de la multiplicación de polinomios, propiedades de las potencias y el producto notable del cuadrado de un polinomio, hemos obtenido el modelo del producto notable del cubo de un binomio.

¿Cuál es el mejor método para calcular el cubo de un binomio: el de multiplicar polinomios o el de aplicar la regla del producto notable correspondiente?